【配套K12】课标通用2018年高考数学一轮复习第八章立体几何8.7利(9)

小初高试卷教案类

K12小学初中高中

[典题3] 如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1， 四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．

(1)求证：O 1O ⊥底面ABCD ；

(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1－OB 1－D 的余弦值．

(1)[证明] 因为四边形ACC 1A 1为矩形，

所以CC 1⊥AC ，同理DD 1⊥BD .

因为CC 1∥DD 1，

所以CC 1⊥BD ，而AC ∩BD ＝O ，

因此CC 1⊥底面ABCD .

由题设知，O 1O ∥C 1C ，

故O 1O ⊥底面ABCD .

(2)[解] 因为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等， 所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .

又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直． 如图，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz

.

不妨设AB ＝2，因为∠CBA ＝60°，

所以OB ＝3，OC ＝1.

于是相关各点的坐标为O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)．

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