【配套K12】课标通用2018年高考数学一轮复习第八章立体几何8.7利(10)

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 易知n 1＝(0,1,0)是平面BDD 1B 1的一个法向量.

设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的法向量，

则????? n 2·OB 1→＝0，n 2·OC 1→＝0，即??? 3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0. 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，

所以n 2＝(2,23，－3)．

设二面角C 1－OB 1－D 的大小为θ，易知θ是锐角，

于是cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝2319

＝25719. 故二面角C 1－OB 1－D 的余弦值为25719

. [题点发散1] 将(2)中条件“∠CBA ＝60°”改为“∠CBA ＝90°”，问题不变． 解：由母题(2)建系条件知，当∠CBA ＝90°时，四边形ABCD 为正方形， 不妨设AB ＝2，则OB ＝2，OC ＝2， ∴O (0,0,0)，B 1(2，0,2)，C 1(0，2，2)．

易知n 1＝(0,1,0)是平面OB 1D 的一个法向量．

设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的法向量，

则????? n 2·OB 1→＝0，n 2·OC 1→＝0，即??? 2x ＋2z ＝0，2y ＋2z ＝0，

取z ＝－2，则x ＝2，y ＝2，则n 2＝(2,2，－2)．

设二面角C 1－OB 1－D 为θ，

则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝210

＝105， 故二面角C 1－OB 1－D 的余弦值为

105. [题点发散2] 在题干条件下，试在线段C 1C 上求一点M ，使二面角 M －OB 1－D 的大小为60°.

解：在母题(2)建系条件下，O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)．

易知n 1＝(0,1,0)是平面OB 1D 的一个法向量．

设M (0,1，m )，且n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1M 的一个法向量．

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