【配套K12】课标通用2018年高考数学一轮复习第八章立体几何8.7利(19)

小初高试卷教案类

K12小学初中高中

(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；

(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．

(1)证明：如图，连接BD ，设BD ∩AC ＝G ，连接EG ，FG ，EF . 在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1.

由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3.

由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC 可知，AE ＝EC .

又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC .

在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝

22. 在Rt△FDG 中，可得FG ＝62

. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝

22，可得EF ＝322. 从而EG 2＋FG 2＝EF 2

，所以EG ⊥FG .

又AC ∩FG ＝G ，所以EG ⊥平面AFC .

因为EG ?平面AEC

，

所以平面AEC ⊥平面AFC .

(2)解：如图，以G 为坐标原点，分别以GB →，GC →

的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB →|为单位

长度，建立空间直角坐标系G －xyz .

由(1)可得A (0，－3，0)，E (1,0，2)， F ? ??

??－1，0，22，C (0，3，0)，

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