高等数学上知识点汇总(7)

高数总结

第三章 微分学基本定理

3.1 微分（基础） 3.1.1 线性近似 3.1.2 微分

3.1.3 基本初等函数的微分公式 3.2 微分中值定理（重点） 3.2.1罗尔中值定理 3.2.2拉格朗日中值定理 3.2.3柯西中值定理

3.1.1微分的应用

微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我们

用函数的微分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用.

3.1.2函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x及x+△x在这区间内，若函数的增量可表

示为

在点x0可微的

。

，其中A是不依赖于△x的常数，叫做函数

是△x的高阶无穷小，

则称函数

=

。

在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作

dy，即：

是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y

的差

通过上面的学习我们知道：

微分是关于△x的高阶

无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。于是我们又得出：当△x→0

时，△y≈dy.导数的记号为：

，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,

即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：

由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。

3.1.3基本初等函数的微分公式

由于函数微分的表达式为：

，于是我们通过基本初等函数导数的公式可

得出基本初等函数微分的公式，下面我们用表格来把基本初等函数的导数公式与微分公式

对比一下：(部分公式)

导数公式

微分公式

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