高等数学上知识点汇总(13)

高数总结

ii:x趋近于x0

（2）具有唯一性（具体说明见下一知识点） （3）方便计算极限

f(n 1)( )(x x0)n 1

②拉格朗日型：rn(x) ， 介于x与x0之间

(n 1)!

推导：

构造函数

n(x x0)n

(n 1)

对rn(x)与(x x0)n在以x,x0为端点的区间上使用n 1次柯西中值定理得

rn(x)r( )(n 1)

n( 介于x与x0之间),又Pn(x) 0n

(x x0)（n 1）!

f(n 1)( )(x x0)n 1 rn(x)

(n 1)!

（1）条件：i: f(x) ii:0∈(a,b) （2） （特别标明处为二者主要区别）

变式：移项f(x)至等式左侧，并另y y0 y，x x0 x 得

f (x0)( x)2f(n)(x0)( x)nf(n 1)( )( x)n 1

y f (x0)( x)

2!n!(n 1)!

反映了（n 1）阶可导函数增量 y与自变量增量 x之间的关系

展开式：特别的，取x0=0为基点时，称其为麦克劳林展开式 展开：（1）利用高阶导代入公式直接展开

（2）高阶导无法求得或过于繁琐时，可利用佩亚诺余

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