2015年全国中考数学试卷解析分类汇编(第三期)专题31 点直线与圆(8)

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3. （2015?福建 第23题 10分）已知：AB 是⊙O 的直径，点P 在线段AB 的延长线上，BP=OB=2，点Q 在⊙O 上，连接PQ ．

（1）如图①，线段PQ 所在的直线与⊙O 相切，求线段PQ 的长；

（2）如图②，线段PQ 与⊙O 还有一个公共点C ，且

PC=CQ ，连接OQ ，AC 交于点D ． ①判断OQ 与AC 的位置关系，并说明理由；

②求线段PQ 的长．

考点： 圆的综合题．.

分析： （1）如图①，连接OQ ．利用切线的性质和勾股定理来求PQ 的长度．

（2）如图②，连接BC ．利用三角形中位线的判定与性质得到BC ∥OQ ．根据圆周角定理推知BC ⊥AC ，所以，OQ ⊥AC ．

（3）利用割线定理来求PQ 的长度即可．

解答： 解：（1）如图①，连接OQ ．

∵线段PQ 所在的直线与⊙O 相切，点Q 在⊙O 上，

∴OQ ⊥OP ．

又∵BP=OB=OQ=2，

∴PQ===2，即PQ=2；

（2）OQ ⊥AC ．理由如下：

如图②，连接BC ．

∵BP=OB ，

∴点B 是OP 的中点，

又∵PC=CQ ，

∴点C 是PQ 的中点，

∴BC 是△PQO 的中位线，

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