高等数学 理工类 第三版 吴赣昌 第5章 定积分终结版(7)

解

：记f(x) xarctanx,x ，

所以

因为

f (x) arctanx

x

0,x (2

1 x

单调增加

f(x

)在 m minf(x) f

M minf(x) f

, 3

arctanxdx

即

9

xarctanxdx

2

3

(4)

2

1

x

dx 2

1 x

知识点：定积分性质

思路：确定被积函数在积分区间上的最大、最小值，从而确定积分值的取值范围

解：令

1 x2x

0, f(x) ,因为当1 x 2时，f (x) 222

(1 x)1 x

所以函数

f(x)在区间 1,2 上单调减少，因此 f(x)min

2211

,f(x) , max

1 2251 122

区间长度b a 2 1 1, 所以 (5)

22x1

dx . 2151 x2

2

xexdx

知识点：定积分性质

xx

解：令f(x) xe,因为当 2 x 0时，f (x) (1 x)e,驻点为x 1,

f( 2) 2e 2,f( 1) e 1,f(0) 0,所以 f(x)min

2

,f(x)max 0, e2

所以 0

★★3.设

2

xexdx

4. e2

f(x)及g(x)在 a,b 上,连续,证明:

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