高等数学 理工类 第三版 吴赣昌 第5章 定积分终结版(3)

解:易见函数f(x) x C a,b ，从而可积，将 a,b 分成n等分，则 xi

于是 i

b a

, n

0 n ,；取 i(i 1,2 ,n)为第i个小区间的右端点，则

b a a i,i 0,1,2, ,n 1,

n

所以

b

a

b ab a

xdx lim f( i) xi lim (a i)

0n nni 0i 0

n 1n 1

1b a[na (0 1 2 n 1)]}

n nn

b an(n 1)b a1

(b a)lim[a 2] (b a)lim[a (1 )]

n n n22n

b a1

(b a)(a ) (b2 a2).

22

(b a)lim{(2)

e

1

lnxdx

in

解:用分点xi e(i 0,1, ,n)划分区间 1,e ：

xi则 i

xi xi 1 e e,i 1,2, ,n， 取 i是区间右端点，

in

in

ini 1n

i

xi e,f( i) ln( i) lne ,

n

e

n

n

ii 1in

作和，并取极限得： lnxdx lim f( i) xi lim (e en)

1n n

i 0i 1ni1i 1n

ini 1i 1

en en)]} lim{ e [ (

n nni 1ni 1

n

1

111i 1(1 e)n

e (1 e)lim() e lim e e lim11n nn n nni 1

1 en(1 en)

n

记g(x)

x

1 ex

，则当x 0时，g(x)是

型的，由洛必达法则， 0

有 lim

x1

lim 1

x 01 exx 0 ex

从而，当n 时，有

1

n nlim

11 e

1n

1，故

e

1

lnxdx e (1 e) 1.

★3．利用定积分的几何意义，说明下列等式：

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