高等数学 理工类 第三版 吴赣昌 第5章 定积分终结版(11)

知识点：定积分性质

思路：利用定积分的中值定理求极限

n 1 1 x证：由积分中值定理知，存在一点 n 0, ，使 n， 01 x1 n2 2

因为0 n

n1

，所以lim n 0 lim 0，

n 1 n 2n

所以lim

n 0

1xn

limn 0.

n 1 1 xn2

1★★★6.设函数

f(x)在 0,1 上连续，在(0,1)内可导，且3 f(x)dx f(0)

f( ) 0.

证明：在(0,1)内至少存在一点 ，使

知识点：定积分性质

思路：先利用积分中值定理，得到满足罗尔定理条件，再求证 证：由积分中值定理知，在 ,1 上存在一点c，使

3

12

f(x)dx 3 f(c)(1 ) f(c) f(0)，

3

故

f(x)在区间 0,c 上满足罗尔定理条件，因此至少存在一点 (0,c) (0,1)，使

f ( ) 0

习题5-3

★1．设

y sintdt,求y (0),y ().

04

x

知识点：积分上限函数求导公式

思路：先利用积分上限函数导数公式求出导数,再把特殊点代入计算

解：因为y (x) sinx,

所以y (0) 0,y ()

4

2

★2．计算下列各导数:

dx2; (1) 0dx

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