高等数学 理工类 第三版 吴赣昌 第5章 定积分终结版(2)

课后习题全解

习题5-1

★★1.利用定积分的定义计算由抛物线

y x2 1，直线x a，x b(b a)及横轴所围成的图形的

面积

知识点：定积分的定义及几何意义 思路：根据求定积分的三步骤做

解:将 a,b 分成n等分,取 i(i 1,2 ,n)为第i个小区间[a

点,则

i 1i

(b a),a (b a)]的右端nn

xi

b ab a

, i a i, nn

显然,

b

0 n ,于是根据定积分的几何意义,该图形面积 b a2b a

ydx lim y( i) xi lim [(a i) 1]

0n nni 0i 1

n

n

A

a

b an2b a(b a)22

lim [a 1 n2ai n2i]n ni 1

n

b ab a(b a)2n22

lim[n(a 1) 2a i i] 2n nnni 1i 1

2a(b a)n(n 1)(b a)21

n(n 1)(2n 1)]} lim{(b a)[a 1 23n n2n6

2

1(b a)211(1 ) ( 1)( 2)] (b a)lim[a 1 a(b a)

n n6nn

2

(b a)2b3 a3

] (b a). (b a)[a 1 ab a

33

2

2

★★2.利用定积分的定义计算下列积分：

知识点：定积分的定义 思路：根据求定积分的三步骤做

(1)

b

a

xdx(a b).

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