高等数学 理工类 第三版 吴赣昌 第5章 定积分终结版(16)

2

解:

40

tan d 4(sec2 1)d (tan )0 1 ;

/4

4

.

(6)

3 40

知识点：牛顿—莱布尼茨公式

思路：利用牛顿—莱布尼茨公式求出原函数,再代入积分上下限求得 解

:

3 40

3 40

3 40

cosxdx

/2

xdx xdx xx

3 /4

2

/2

1.

★★11．设

1

sinx0 x

f(x) 2

x 0或x 0

,求 (x)

x

f(t)dt在 , 内的表达式.

知识点：牛顿—莱布尼茨公式 思路： (x)

x

f(t)dt随x而变，并注意到被积函数f(x)在不同区间的表达式不同,所以必要时对

x

f(t)dt进行分段积分。

解:当x 0时, (x)

当0

x

0dt 0,

x 时, (x)

x

x1 cosx11xsintdt cost sin2,

02222

当x 时, (x)

x1

sintdt 0dt 1.

2

0

x 0

2x

所以 (x) sin 0 x

2 x 1

★★★12．设

10

f(x)连续,若f(x)满足 f(xt)dt f(x) xex,求f(x)

知识点：积分上限函数求导公式

思路：换元法求得积分上限函数,再对积分上限函数求导 解:令u xt,则

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