高等数学 理工类 第三版 吴赣昌 第5章 定积分终结版(10)

解：令f(x) x sinx，则f (x) 1 cosx 0,x 0,

. 2

且仅当x

0时，f (0) 0，故在 0, 上，f(x)单调增加

2

f(x) x sinx 0 f(0),即x sinx, 又在 0, 上，x sinx，即f(x) 0,

2

2

20

xdx 2sinxdx

20

(5)

sinxdx，

sinxdx

知识点：定积分性质

思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小

0

解：当x ,0 ，sinx 0，从而 sinxdx 0；

2 2

又当x 0,，sinx 0，从而 2sinxdx 0

0 2

所以

sinxdx

2

01

20

sinxdx

(6)

1

ln(1 x)dx，

x

dx 1 x

知识点：定积分性质

思路：通过比较被积函数在积分区间内的大小，判定积分值的大小 解：令F(x) ln(1 x)

11xx

0,x (0,1). ，则F (x) 22

1 x(1 x)(1 x)1 x

所以F(x)在(0,1)单调增加，且F(0) 0， 故F(x) 0,x (0,1)， 所以

1

F(x)dx 0 F(x)dx 0 ln(1 x)dx

1

1

000

1

x

dx 1 x

★★★5.利用积分中值定理证明：

lim

n 0

xn

0 1 x

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