高等数学 理工类 第三版 吴赣昌 第5章 定积分终结版(5)

nn

i1i 1ii

②、求和：取区间[,]上的右端点为 i，即 i ，作和： f( i) xi

nnnni 1i 1n

ip11nip

③、求极限：lim f( i) xi lim () lim ()

0n nn ni 1ni 1i 1n

11p 2p np1nip

lim () xpdx ∴limp 10n n nni 1n

nn

★★★6.有一河，宽为200米，从一岸到正对岸每隔20米测量一次水深，测得数据如下：

试用梯形公式求此河横截面面积的近似值.

知识点：定积分的几何意义

思路：由定积分定义知：求定积分（曲边梯形面积）的第二步：

用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，即

f( i) xi

xi

xi 1

f(x)dx，

若用小梯形面积近似代替小曲边梯形面积则为：

xi1

[f(xi 1) f(xi)] xi f(x)dx。

xi 1

2

解:积分区间 a,b 0,200 ,并对该区间作10等分，则区间分点xi(i 1,2, ,n)及其对应的函数值

1b a

yi恰如表中所示，第i段的梯形横截面面积：(yi 1 yi)

2n

b a1

∴ 此河横截面面积A [(y0 y10) y1 y2 y9] 2330m

n2

习题5-2

★1.证明定积分性质:

(1)

b

a

kf(x)dx k f(x)dx.(k是常数)

a

b

知识点：定积分性质

思路：利用定义推导定积分的性质

证明：设f(x)在 a,b 上可积，对任意的分法与取法，记

b

max{ xi} (i 1,2, ,n)

k

a

f(x)dx klim f( i) xi lim kf( i) xi kf(x)dx

0

i 1

nn

b

0

i 1

a

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