高等数学 理工类 第三版 吴赣昌 第5章 定积分终结版(17)

1

f(xt)dt

x

du1x

f(u) f(u)du,

xx0

因此

f(x)满足

x

f(u)du xf(x) x2ex,

两边关于x求导,可得： 因此 ∴

f(x) f(x) xf (x) 2xex x2ex.

f (x) (2 x)ex,说明f(x)是 (2 x)ex的原函数.

f(x) (2 x)exdx (x 1)ex C C为任意常数.

f(x)

x0

★★★13．设

ln(1 t)1

dt(x 0),求f(x) f() tx

知识点：积分上限函数

思路：用换元法改变积分限，使f(x)和f()积分限相同

1

x

1ln(1 )u 1/tln(1 t)x1x解:由于 f() dt du

11xtuxln(1 u)xlnu

du du,

11uu

而

x

1

lnu11

du (lnu)2 (lnx)2 u221

xln(1 t)xln(1 u)111f(x) f() dt du (lnx)2 (lnx)2.

11xtu22

x

因此：

★★★14．设

f(x)在 a,b 上连续,在 a,b 内可导,且f (x) 0

1x

f(t)dt，证明:在 a,b 内有F (x) 0 ax a

F(x)

知识点：积分上限函数的导数,积分中值定理,拉格朗日中值定理

证明: F (x)

f(x)(x a) f(t)dt

(x a)

a

2

x

f(x)(x a) f( )(x a)

(a x) 2

(x a)

f(x) f( )f ( )(x )

( x)

(x a)(x a)

∵a x，f (x) 0 f( ) 0，∴F (x) 0 习题5-4

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