研究生矩阵论课后习题答案(全)习题四(9)

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x(0) c1P1 c2P2，

然后利用这一结论求解定解问题：

dx 01 x1

, dt 5 6 x2

x(0) 1

1

的解,并将这一结论推广到n阶方阵情形.

(1)证明:令P [P1,P2],则

P 1AP 1

于是

1,A P 2

1

P, 2 1

Px 2

1dx

P dt

令y Px,则

1

1 1 1dxPx, P

2 dt

dydx

P 1,微分方程化为 dtdt

dy 1

dt

y 2 c1 , 2t e c2

其解为

e 1t

y

故方程

dx

Ax的解一定能表示成 dt

e 1t

x Py [P1,P2]

c1 2t c1e 1tP1 c2ec2 2t e c2

若是定解问题,则c1,c2由x(0) c1P1 c2P2确定.

(2)解:矩阵

1 0

的特征值为 1 1, 2 5,特征向量分别为

5 6

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