研究生矩阵论课后习题答案(全)习题四

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习题四

1．求下列微分方程组的通解

dx1

dt x2 x3, dx1

dt x1 2x2, dx

（1） （2） 2 x1 x2 x3,

dx

2 4x1 3x2; dt dt dx3 x x.

23

dt x1 12

解：(1)设A x ,则原方程组可写为 43 ,x

2

dx

Ax， dt

矩阵A的特征方程为

I A

1

4

2

3

( 5)( 1) 0，

1 1

则矩阵A的特征值为 1 5, 2 1,求得矩阵A的特征向量分别为 2 , 1 ,

令P

11 1 11 1

P ,则,有 2 12 13

50 PAP ,A P P 1,

0 1

1

则

e

At

PeP

t 1

1 11 e5t 3 2 1 00 11 1 e5t 2e t

3 5t t t

2 1e 2e 2ee5t e t

. 5t t e e

故该方程组的通解为

1 e5t 2e t

x ec 5t

3 2e 2e t

Ate5t e t c1

5t t e e c2 1 (c1 c2)e5t (2c1 c2)e t

5t t 3 (2c1 2c2)e (2c1 c2)e

其中c1,c2为任意常数.

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