线性代数期末考试题目及答案(14)

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设 1是矩阵A 0 14 的一个特征值。

t01

（2） 求参数t的值；

（2） 求对应于 1的所有特征向量。 解

：

1

是特征值，所以有 I A I A 0

-----------------------------------------------------------2分 由于

2

I A 0

t

10

2

2 4 0

，所以t可取任意实数

--------------------------------------------------------5分

解

(I A)X 0

(0,2,1)T

-----------------------------------------------------------------------------------------------------6分

得基础解系

---------------------------------------------------------------------------------------------8分 所

以

特

征

向

量

为

k(0,2,1)T,k 0

--------------------------------------------------------------------------10分

九、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） (1) 设A,B都是n阶矩阵，且A可逆，证明AB与BA相似；

证明：要证AB与BA相似，即要证存在可逆矩阵P，使得P 1(AB)P BA

---------------2分

由题意知，A可逆，又有

A 1(AB)A BA

---------------------------------------------------------------4分 所以有AB与BA相似；

(2) 设b1 a1 a2,b2 a2 a3,b3 a3 a4,b4 a4 a1，证明向量组b1,b2,b3,b4线

性相关。

方法一：观察可得b1 b3 b2 b4，所以有b1,b2,b3,b4线性相关。---------------------------------5分

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