数值分析简明教程课后习题答案(16)

详细的《数值分析简明教程》第二版课后习题答案

4.2 牛顿迭代法

1、（p.154，题17）试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4位有效数字：

（1）x 3x 1 0，x0 2 （2）x 3x e 2 0，x0 1

【解】 （1）设f(x) x3 3x 1，则f'(x) 3x2 3，牛顿迭代公式：

2

x

3

xk 1

33

f(xk)xk 3xk 12xk 1

xk xk 22

f'(xk)3xk 33(xk 1)

(k 0,1,2, )，迭代计算过

因为|x3 x2| 0.00006 10，所以x x3 1.879。

22

f(xk)xk 3xk exk 2xk exk(xk 1) 2

xk xk

f'(xk)2xk 3 exk2xk 3 exk

（2）设f(x) x2 3x ex 2，则f'(x) 2x 3 ex，牛顿迭代公式：

xk

1

(k 0,1,2, )

因为|x3 x2| 0.00000 10，所以x x4 0.2575。

3

2、（p.154，题18）应用牛顿法于方程x a 0，导出求立方根a(a 0)的迭代公式，并证明该迭代公式具有二阶收敛性。

【证明】（1）设：f(x) x3 a，则f'(x) 3x2，对任意x 0，牛顿迭代公式

xk 1

33

f(xk)xk a2xk a

k 0,1,2, xk xk 22

f'(xk)3xk3xk

2x3 a

(x 0) （2）由以上迭代公式，有：limxk x a。设 g(x) 2k 3x

g(x ) x ；g'(x )

2a2a

(1 3) 0；g''(x ) 43xx ax

x a

2

a

。

xk 1 x g(xk) g(x ) g'(x )(xk x )

g''( )

(xk x )2 2!

xk 1 x g''(x )1

，可见该迭代公式具有二阶收敛性。<证毕> lim k (x x )22!ak

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