数值分析简明教程课后习题答案(15)

详细的《数值分析简明教程》第二版课后习题答案

4.1 迭代法及收敛定理

1、（p.153，题1）试取x0 1，用迭代公式xk 1

3

2

20

2xk 2xk 10

(k 0,1,2, )，求

方程x 2x 10x 20 0的根，要求准确到10。

【解】 迭代计算结果列于下表

3

因为|x9 x8| 0.00082 10 3，所以x x9 1.36906。 2、（p.153，题2）证明方程x 代过程xk 1

1

cosx有且仅有一实根。试确定这样的区间[a,b]，使迭2

1

cosxk对x0 [a,b]均收敛。 2

1111

【证明】设：g(x) cosx，则当x R时，g(x) cosx [ ,]，且一阶导数

2222

1111

g'(x) sinx连续， |g'(x)| | sinx| 1，所以迭代过程xk 1 cosxk对

2222

1

（压缩映像定理），方程x cosx有且仅有一实根。<证毕> x0 R均收敛。

2

3、（p.153，题4）证明迭代过程xk 1

xk1

对任意初值x0 1均收敛于2。

2xk

g(x) 【证明】设：

x1x1x1

，对于任意x 1，因为 2所以g(x) 2。 2，2x2x2x

一阶导数g'(x)

x1111 2 1， 根据压缩映像定理，迭代公式xk 1 k 对任意2x22xk

初值x0 1均收敛。假设limxk x，对迭代式xk 1

k

xk1

两边取极限，则有

2xk

x 1x ，则x

2x

2

2，解得x 2，因x 2不在x 1范围内，须舍去。

故x

2。<证毕>

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