上海市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列(11)

若存在

p，使得an am ap，即3p m n 1 2，p m n 1 log32，该式左边为整数，右边是

无理数，矛盾．所以该数列不是封闭数列…………………………………… 4分

（2）证明：（必要性）任取等比数列的两项as,at s t ，若存在ak使asat ak，则a1 qs t 2 qk 1，解得a1 qk s t 1.故存在m k s t 1 Z，使a1 qm，…… 6分 下面证明整数m 1．

对q 1，若m 1，则取p m 2，对a1,ap，存在au使a1ap au， 即qm qp 1 qu 1，q 1 qu 1，所以u 0，矛盾，

故存在整数m 1，使a1 qm．…………………………………… 8分 （充分性）若存在整数m 1，使a1 qm，则an qn m 1， 对任意s,t N*，因为asat q(s t m 1) m 1 as t m 1， 所以 an 是封闭数列. …………………………………… 10分 （3）由于 n a1 a2 an a 2

n

1

n(n 1)2

，所以bn nlog2a1

n(n 1)

，……………11分 2

m

因为 an 是封闭数列且a1为正整数,所以，存在整数m 0，使a1 2，

1111n(n 1)lim( b n 若a1 1，则n，此时不存在．所以b1b1b2bn没有意义…12分 2

11111n(n 1)lim( 2 b 若a1 2，则nbn9，………………… 13分 2，所以n b1b212n(n 3) b 若a1 4，则n，于是bnn(n 3)， 2

lim(

11111

) b1b2bn9，…………………………………… 16分

所以n

12n(n 3) b 若a1 4，则n，于是bnn(n 3)， 2

lim(

11111 ) b1b2bn9，…………………………………… 17分

所以n

综上讨论可知：a1 4，an 4 2n 1,(n N*)，该数列是封闭数列．……… 18分

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