中国矿业大学研究生数理统计复习(3)

时间：120分钟 2006-12-24

教师 学院 专业 学号 姓名 题号 得分

一

二

三

四

五

六

七

八

总 分

一、简要回答下列问题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 1．X1,X2,L,Xn是来自正态总体Nμ,σ

(

2

)的样本，其中参数μ和σ

S

tα(n 1)] n

2

均未知，对于参

数μ的置信度为1 α的置信区间，试问当α减少时该置信区间的长度如何变化？

答：则μ的置信度为1－ α的置信区间[±

置信区间的长度L=

2Sn

tα2(n 1)，当样本容量给定时，减小α的值会增大tα2(n 1)的

值，相应地L=

2Sn

tα2(n 1)变长。

2．基于小概率事件原理的显著性假设检验不免可能会犯两类错误：

α：第一类错误 β：第二类错误

（1）解释这两类错误；（2）说明α和β如何相互影响以及样本容量n对它们的影响。 答1.P{第一类错误}=P{拒绝H0|H0为真}， P{第二类错误}=P{接受H0|H0为假} 2. 当样本容量固定时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增；要同时降低 ， ，需要增加样本容量.

二、（12分）设X1,X2,L,Xn是正态总体X~N(μ,σ)的样本， 1．试问

2

1

σ

2

∑(X

i=1

n

i

μ)2服从什么分布（指明自由度）？

1

n

n

Xi μ

σ

~N(0,1)且独立，

σ2

∑(Xi μ)=∑(

2

i=1

i=1

Xi μ

σ

)2~χ2(n)

2．证明X1+X2和X1 X2相互独立；

X1+X2~N(2μ,2σ),X1 X2~N(0,2σ)，（X1+X2，X1 X2）服从二维正态分布二者的协方差为

2

2

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