“有限元法原理及应用”讲义-2013秋修订(9)

第二章 弹性力学有限元法基本原理（一）

第一节 里兹法的有限元形式

由于经典里兹法求解时需要在求解域整体上假定位移场，且位移场必须满足连续性和边界位移约束条件（许可位移），因此经典里兹法在解决实际问题时，尤其是复杂几何形状的二、三维问题，具有很大局限性。

解决的办法是在求解区域上分片假设位移场。

下面以一维直杆的分析为例子，研究基于里兹法的有限元位移法基本原理和求解过程。考虑图2-1（a）所示的结构，长度改为3L，把杆分为三个部分。 应用里兹法求解时分三个区域假设位移场：

u=b1+b2x 0≤x≤L u=b3+b4x L≤x≤2L u=b5+b6x 2L≤x≤3L

上述多项式系数bi（i=1,6） 作为待定参量。

为了使得上述假设位移是“可能的”，上述待定参量必须满足一定约束关

系，因此该问题的独立参量（广义坐标）只有3个。

图2-1 （a）截面积A，弹性模量E，轴向受力杆。

（b）杆的有限单元

把上述假设的位移代入势能泛函：

Πp=∫

3L

3LE2

,xAdx ∫qudx

02

进行分段积分，再应用势能驻值条件，立即就求出待定参量，位移场完全确定，进而可求出应力。

上述是原理上的里兹法有限元形式。关键是它采用分片多项式拟合全域上的可能位移场，这就是有限元法的实质。

但是，上述分片形式的假设位移场有下列缺点：

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