“有限元法原理及应用”讲义-2013秋修订(17)

阵）变换到整体规模（矩阵的尺寸等于系统节点自由度总数），即：

1) 对单元刚度矩阵Ke和等效节点载荷列阵Pe，根据单元局部节点编号i, j, m所对

应的整体节点号，重新产生具有结构总自由度规模的相应矩阵：Kem和Pem； 2) 势能表达式中的单元节点位移列阵a换成结构整体位移列阵a

e

那么，上式立刻成为：

Πp=

1TTemem

(∑K)a a(∑P) a2ee

式中，令：K=

∑K

e

em

，称为结构整体刚度矩阵（总刚度矩阵）；

P=∑Pem，称为结构节点载荷列阵。

e

则总势能写成：

1T

Πp=aKa aTP

2

这就是用求解区域上所有离散节点未知变量（节点位移）来表达的系统总势能泛函。 应用最小总势能原理，由驻值条件δΠp=0，即：程：

Πp a

=0，得到有限元系统平衡方

Ka=P

该方程反映了有限元离散结构的总体平衡，即每个节点处的平衡。

5、单元刚度矩阵及其性质

对于三节点三角形单元，应变矩阵是常数，所以单元刚度矩阵计算如下：

对于平面应力问题，其一个子块计算如下：

( r,s=i, j, m) 其中

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