“有限元法原理及应用”讲义-2013秋修订(16)

S=DB=D[BBB]=[SSS]

i

j

m

i

j

m

S称为应力矩阵。将平面应力或平面应变问题的弹性矩阵代入，就可以计算出应力矩

阵。

至此，已经完成了在二维弹性区域上（分片）假设可能位移场，并准备好计算系统的总势能。

4、利用最小总势能原理建立有限元方程

弹性力学平面问题的总势能泛函表达式如下：

Πp=∫

1T

Dεtdxdy ∫uTftdxdy ∫uTTtdS 2 Sσ

其中 t是弹性体厚度；

f是二维体积力；

T是二维边界上的面力。

对于上述在整个求解区域上分片假设的位移场，或者离散模型，对上述势能泛函进行分片计算（每个单元上积分）并求和：

eT1T eT e T= a∫BDBtdxdya ∑ a∫Nftdxdy Πp∑ e2 e

e e eT T

∑ a∫eNTtdS

sσ

e

令：

Te

，称为单元刚度矩阵； BDBtdxdy=K∫ e

∫N

eSσ

T

ftdxdy=Pbe，单元体力等效节点力；

Te

NTtdS=PS，单元面力的等效节点力； ∫e

P

e

=Pb+PS 称为单元等效节点载荷列阵。

ee

将上述定义的矩阵符号代入势能表达式得：

e eTee 1eT

= ∑∑aaaΠpe 2K ePb

1eTeTeeTeee

∑aPS=∑(aKa) ∑(aP)

2eee

()

()

参考前面受轴向力杆的例题，对上式作如下形式上的处理，把单元相关的矩阵（包括列

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