“有限元法原理及应用”讲义-2013秋修订(7)

三、瑞利-里兹法

瑞利-里兹法是针对连续系统从一族满足约束条件的假定解中利用泛函驻值条件求“最好”近似解的一种普遍适用方法。

其基本思想是：如果问题有相应的变分原理，就构造一族带有待定参量的试探函数（弹性力学中就是假定位移场），将其代入泛函表达式，泛函立刻成为多元函数，由驻值条件确定待定参量，就得到问题的近似解答。

我们仅涉及针对假定位移场和势能泛函的应用。

现在以一个弹性杆件（图1-4）为例来说明瑞利-里兹法的求解原理。

图1-4 弹性杆件

势能泛函为：

L

lE2

,xAdx ∫qudx

02

Πp=

∫

该问题中，在求出近似位移场u=u(x)后，单轴应力σx=Eεx=Eu,x。 最简单的“可能”位移（试探函数）为：u

=a1x，待定参量a1称为广义坐标。

它满足位移边界条件，不满足应力边界条件。将它代入上式势能泛函得到：

AEL2cL3

Πp=a1 a1

23

cL2

由驻值条件 =0，得到 a1=

da13AE

dΠp

cL2cL2

因此， u=。 x 和 σx=

3AE3A

考虑一个更好的试探函数：

u=a1x+a2x2，广义坐标为a1，a2 上式代入势能泛函，并应用驻值条件求解得到：

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