“有限元法原理及应用”讲义-2013秋修订(3)

第一章 引 论

一、概述

本课程以弹性力学有限元法引入有限元位移法的基本原理、基本方法以及有限元法应用方面的有关专题内容。

弹性力学问题的有限元法中，除了离散化和分片插值思想外，基础是弹性力学的变分原理（最小势能原理）和变分解法瑞利-里兹法（Rayleigh-Ritz）。

瑞利-里兹法是一种将求解未知连续场问题转化为有限自由度问题的近似解法。在连续体力学问题中应用的最广泛形式是采用假定位移场，并结合势能泛函进行变分求解，前提是最小势能原理。

因此，首先需要研究弹性系统的势能和最小势能原理。

二、最小总势能原理

一个“系统”是一个结构加上作用其上的力。 对于保守系统，系统总势能定义为： 总势能 = 应变能 － 已知外力所作的功

系统总势能是对应系统任何一个可能构型的由系统力学状态量（载荷、位移、应力、应变）决定的状态函数。

系统总势能用符号 Πp 表示，当载荷不变时，运用弹性力学的几何方程和物理方程，可以将它转化为系统位移场函数的泛函。对于系统每一个“可能位移（场）”，系统有一个总势能（泛函）与之对应。

“可能位移”—— 满足内部连续性和位移边界条件的位移场。

为什么是减去“已知外力所作的功”？一种理解就是，把外力在结构变形前构形上的势能定义为0，则在任何可能构形上外力的势能就是“0 － 外力所作的功”。

举例：对于一个图1-1所示，一端受集中力P，具有刚度k的单自由度线性弹簧系统。

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