“有限元法原理及应用”讲义-2013秋修订(10)

（1） 必须对其表达式进行调整，使其满足连续条件和边界约束条件； （2） 多项式系数广义坐标bi缺乏明显的物理意义。

因此，上述不是通常意义上的标准有限元形式，具有局限性。必须把bi换成节点的未知位移分量，得到标准有限元形式。

图2-1（b）给出了连续结构的三个分区（单元），单元之间的连接点称为节点。这一步骤称为离散化。

下面对每个单元，在单元内假设简单的位移场（位移模式）：根据单元2个节点上的位移未知量进行线性插值得到单元上任意点的位移。过程如下。

对单元1按线性函数插值方法得到：

u=

sL s

u1+u2=N1u1+N2u2，矩阵形式为u= N {d}

LL

L s

=N Ls

=[N1 L

N2] 是插值基函数矩阵，称为“形函数”矩阵；N1，N2

分别是单元两个节点的位移形状函数，简称为“形函数”。

{d}=

u1

。 ，为单元1的节点位移列阵（单元自由度）

u 2

u

u3 u u4

对其它两个单元也可同样获得插值函数形式的假定线性位移场： 单元2：u

= N {d}，{d}= 2 = N {d}，{d}= 3

单元3：u

N 同上。每个单元中，位移都是线性场，但数值不同，取决于单元两端节点位移。显然，整个杆上，由各单元上假设的位移场拼接而成的位移试探函数是连续的，只要满足位移边界条件u1

=0，得到的就是全域可能位移场。这样的位移场已经把节点

位移自由度作为广义坐标。

下面在上述分片位移插值试探函数的基础上进一步实施里兹法求解。 在三个单元上分片进行总势能计算：Πp

=∫

3L

3LE2

xAdx ∫qudx

02

首先计算应变：

εx=u,x=u,s

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