“有限元法原理及应用”讲义-2013秋修订(14)

β1~β6是待定系数，称为广义坐标。

显然，用这种以多项式系数为广义坐标的单元位移模式构造整体求解域上的可能位移场将非常困难。

因此需要将上述多项式系数广义坐标代换为单元节点位移（二维插值）。 代换后整理得到以单元节点自由度表示的位移模式：

u=Niui+Njuj+Nmum v=Nivi+Njvj+Nmvm

其中Ni=

1

，称为单元的插值函数或形函数。 (ai+bix+ciy) （i,j,m）

2A

ui v i 0 uj

Nm vj

um

v m

位移模式的矩阵形式为：

Ni u

u= =

v 0

Ni

Nj0

0Nj

Nm0

=

[N

i

N

j

N]a=Na

e

e

m

N称为形函数矩阵。

2、形函数的性质

（1） 相应于某节点i的形函数Ni在i节点上值为1，在j,m节点上值为0。 （2） 单元中任一点各形函数之和等于1，即：

Ni+Nj+Nm=1

说明三个形函数只有两个独立。该性质保证单元各节点函数值相同时，插值得到的任意一点函数值为相同值。

（3） 对三节点单元，形函数在单元内部和边界上均线性分布，形函数在边界上的值，

只跟端点坐标有关，与第三点坐标无关；某节点的形函数在对边上恒为0。

（4） 形函数的几何意义，图2-5。

根据三角形单元形函数的上述性质也可以推断，单元的假定位移在内部和边界上都线性分布，边界上的位移只跟两端节点位移有关，保证了整个求解区域上位移的连续性。

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