2020年上海市浦东新区高二(下)期中数学试卷解析版(12)

第12页，共14页由题意得A （0，0，3）E （2，0，0），

，，

故，，，…（6分）设=（x 1，y 1，z 1）是平面AEG 的一个法向量．

由，得，

取z 1=2，可得平面AEG 的一个法向量=（3，-

，2）．…（8分）

设=（x 2，y 2，z 2）是平面ACG 的一个法向量．由，得，取z 2=-2，可得平面ACG 的一个法向量=（3，-，-2）．…（10分）

所以cos ＜＞==．

因此二面角E -AG -C 的大小为60°．…（12分）

【解析】（Ⅰ）由AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，得BE ⊥平面ABP ，从而BE ⊥BP ，由此能求出∠CBP =30°．

（Ⅱ）以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E -AG -C 的大小．

本题考查角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

20.【答案】证明：（1）∵PA ⊥底面ABCD ，CE ?平面ABCD ，

∴PA ⊥CE ，

∵AB ⊥AD ，CE ∥AB ，

∴CE ⊥AD ，

又PA ∩AD =A ，PA ?平面PAD ，AD ?平面PAD ，

∴CE ⊥平面PAD ．

（2）∵AB ⊥AD ，BC ∥AD ，CE ∥AB ，

∴四边形ABCE 是矩形，∴CE =AB =1，CE ⊥DE ，

又CD =，∴DE =1，

∴AE =AD -DE =2，即BC =2，

∴V P -ABCD =S 梯形ABCD ?PA =×（2+3）×1×1=．

【解析】（1）由CE ⊥PA ，CE ⊥AD 即可得出CE ⊥平面PAD ；

（2）计算DE ，得出AD ，代入棱锥的体积公式计算即可．

本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．

21.【答案】解：（1）取BB '的中点G ，连接EG ，FG

，如图所示：

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