高等数学公式手册(9)

高等数学公式手册

第二类曲线积分（对坐 标的曲线积分）：

x (t ) 设L的参数方程为 ，则： y (t )

P( x, y)dx Q( x, y)dy {P[ (t ), (t )] (t ) Q[ (t ), (t )] (t )}dt

L

两类曲线积分之间的关 系： Pdx Qdy (P cos Q cos )ds，其中 和 分别为

L

L

L上积分起止点处切向量 的方向角。

Q P Q P

格林公式： dxdy Pdx Qdy格林公式： )dxdy Pdx Qdy x y x y D D L

L

1 Q P

当P y, Q x 2时，得到D的面积：A dxdy xdy ydx

2 L x y D ·平面上曲线积分与路径 无关的条件：

1、G是一个单连通区域；

Q P

2、P( x, y)，Q( x, y)在G内具有一阶连续偏导数 ，且(0,0)，应 x y 减去对此奇点的积分， 注意方向相反！ ·二元函数的全微分求积 ： Q P

在时，Pdx Qdy才是二元函数u( x, y)的全微分，其中： x y

( x , y )

u( x, y)

( x0 , y0 )

P( x, y)dx Q( x, y)dy，通常设x

y0 0。

曲面积分：

对面积的曲面积分： f ( x, y, z)ds f [ x, y, z( x, y)] z ( x, y) z ( x, y)dxdy

2

x

Dxy

2y

对坐标的曲面积分： P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy，其中：

R( x, y, z)dxdy R[ x, y, z( x, y)]dxdy，取曲面的上侧时取正 号；

Dxy

P( x, y, z)dydz P[ x( y, z), y, z]dydz，取曲面的前侧时取正 号；

Dyz

Q( x, y, z)dzdx Q[ x, y( z, x), z]dzdx，取曲面的右侧时取正 号。

Dzx

两类曲面积分之间的关 系： Pdydz Qdzdx Rdxdy (P cos Q cos R cos )ds

高斯公式：

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