高等数学公式手册(6)

高等数学公式手册

z z u u u dx dy du x y x y z

全微分的近似计算： z dz f x ( x, y) x f y ( x, y) y 全微分：dz

多元复合函数的求导法 ：

dz z u z v

z f [u(t ), v(t )]

dt v z u z v z z f [u( x, y), v( x, y)] x u x v x

当u u( x, y)，v v( x, y)时，

u u v v

dx dy dv dx dy x y x y

隐函数的求导公式：

2 dy Fd y F Fdyxx x

( )＋( ) 隐函数F ( x, y) 0 ，2 Fy dx dx x Fy y Fy dx

z Fy Fx z

隐函数F ( x, y, z) 0， ， x Fz y Fz du

F

F ( x, y, u, v) 0 (F , G)

u

隐函数方程组： J

(u, v) G G( x, y, u, v) 0

u

v 1 (F , G) u 1 (F , G) x J ( x, v) x J (u, x)

v 1 (F , G) u 1 (F , G) y J ( y, v) y J (u, y)

微分法在几何上的应用：

Fu Fv Gu Gv

x (t ) x x y y z z 00

空间曲线 y (t )在点M ( x 0 , y 0 , z0 )处的切线方程0

(t0 ) (t0 ) (t0 ) z (t )

在点M处的法平面方程： (t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )( z z0 ) 0 Fy Fz Fz Fx Fx Fy F ( x, y, z) 0

T,则切向量 若空间曲线方程为：

G y G Gz G Gx G y G( x, y, z) 0 曲面F ( x, y, z) 0上一点M ( x0 , y0 , z0 )，则：

1、过此点的法向量： n {F x ( x 0 , y 0 , z 0 ), F y ( x 0 , y 0 , z 0 ), F z ( x 0 , y 0 , z 0 )}

2、过此点的切平面方程 ：Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0 x x0 y y0 z z0

3Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )

方向导数与梯度：

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