高等数学公式手册(12)

高等数学公式手册

1 1时，收敛于

1 x 1 x x 2 x3 x n

1时，发散

对于级数(3)a0 a1 x a2 x 2 a x n ，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全

R时收敛 数轴上都收敛，则必存 在R，使 R时发散，其中R称为收敛半径。

1

0时，R

an 1 ，其中a，a是(3)的系数，则nn 1求收敛半径的方法：设 lim 0时，R

n an

时，R 0

函数展开成幂级数：

R时不定

( n ) ( x ) f ( x )2 n f 函数展开成泰勒级数： f ( x) f ( x0 )( x x0 ) ( x x 0) ( x x 0)

n! 2!

f ( n 1)( ) n 1 余项：R ( x x x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是：lim R 0nn 0) , f ( n (n 1)!

f ( n ) (0) n f (0) 2

x0 0时即为麦克劳林公式： f ( x) f (0) f (0) x x x

2! n!

一些函数展开成幂级数：

m(m 1) 2 m(m 1) (m n 1) n

x x ( 1 x 1)

2! n! 2 n 1 3

x x5 n 1 x sin x x ( 1) ( x ) 3! 5! (2n 1)! (1 x)m 1 mx

欧拉公式：

eix e ix

cos x 2 ix

e cos x i sin x 或 ix ix e e sin x 2

三角级数：

a0

(an cosnx bn sin nx) f (t) A0 An sin(n t n ) 2 n 1 n 1

其中，a0 aA0，an An sin n，bn An cos n， t x。

正交性：1, sin x, cos x, sin 2x, cos2x sin nx, cosnx 任意两个不同项的乘积在[ , ]

上的积分＝0。

傅立叶级数：

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