高等数学公式手册(7)

高等数学公式手册

f f f 函数z f ( x, y)在一点p( x, y)沿任一方向l的方向导数为 cos sin

l x y 其中 为x轴到方向l的转角。

f f

函数z f ( x, y)在一点p( x, y)的梯度：grad f ( x, y) j

x y

f

它与方向导数的关系是 grad f ( x, y) e，其中e cos i sin j，为l方向上的

l

单位向量。

f

是grad f ( x, y)在l上的投影。 l

多元函数的极值及其求法：

设f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 0，令：f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C A 0, ( x 0 , y 0 )为极大值 2

AC B 0时，

A 0, ( x0 , y0 )为极小值

2

则：值 AC B 0时， 无极 AC B 2 0时, 不确定

重积分及其应用：

f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd

D D

22 z z 曲面z f ( x, y)的面积A 1 dxdy

x y D

y ( x, y)d M M 平面薄片的重心： , y M ( x, y)d M ( x, y)d

D

x ( x, y)d

2

D

平面薄片的转动惯量： 对于x轴I x y ( x, y)d , 对于y轴I y x ( x, y)d

D

D

2

平面薄片（位于 xoy平面）对z轴上质点M (0,0, a), (a 0)的引力：F {Fx , Fy , Fz }，其中：

( x, y) xd ( x, y) yd F ( x, y) xd

z Fx f F faf y 3 3 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2D D D

( x y a ) ( x y a ) ( x y a )

柱面坐标和球面坐标：

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