清华大学出版社 陆大金编著
N(t)(s)
(s 1) N(t)(s)
t
N(0)(s) 1
N(t)(s) e
(s 1)t
（2）由于 N(t)(s)是随机过程N(t)的母函数，且 N(t)(s) e (s 1)t，将函数e (s 1)t关于s(s 1)展开成级数形式，我们可得：
N(t)(s) e
(s 1)t
k 0
( t)k!
k
e
t
s
k
由母函数与分布函数的唯一性定理，可得：
P{N(t) k}
( t)k!
k
e
t
,
k 0,1,2
P230/8. 解：由特征函数的定义，我们有：
X(t)(u) Ee
iuX(t)
iuX(t)
P{N(t) n} E e
n 0
N(t) n
n 0
( t)n!( t)n!
n
e
n
t
Ee
iu Y1 Y2 Yn
n 0
e
t
Ee
iuY1
n
令E eiuY Y(u)，则有：
1
1
X(t)(u)
n 0
( t Y1(u))
n!
n
e
t
exp t Y1(u) 1 （*）
若Yn(n 1,2, )的概率分布为：
P{Yn 1}
1 1 2
,
P{Yn 1}
2 1 2
则
Y(u) E e
n
iuYn
1 1 2
e
iu
2 1 2
e
iu
（**）
将（**）代入（*），我们有：
1 2iu iu
X(t)(u) exp ( 1 2)t e e 1
1 2
1 2
exp 1te
iu
2te
iu
( 1 2)t
P230/7. 解：先求{N0(t),t 0}的特征函数：
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