2000-2013年全国高中数学联合竞赛试卷(含答案)(9)

点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN。 二、（本题满分50分） 设xi 0(I=1,2,3, ,n)且

x

i 1

n

2

i

2

1 k j n

n

k

xkxj 1，求 xi的最大值与最小值。 ji 1

三、（本题满分50分）

将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。

2001年全国高中数学联合竞赛

试题参考答案及评分标准

一．选择题：CBDDCA

二．填空题

7． 10．

23

8．

27

3072 i1313

9．

66

(0,1) (1,2) (4, ) 11．[1,

3

) [2, )2

12．三．解答题

13．设所求公差为d，∵a1＜a2，∴d＞0．由此得

22

a1(a1 2d)2 (a1 d)4 化简得：2a1 4a1d d2 0

解得：d ( 2 2)a1 5分

而 2 2 0，故a1＜0 若d ( 2 2)a1，则q 若d ( 2 2)a1，则q

n

2

a22a12a22a1

(2 1)2

(2 1)2 10分

但lim(b1 b2 bn) 2 1存在，故| q |＜1，于是q (2 1)2不可能． 从而

2a1

2

1 (2 1)

2 1 a12 (22 2)(2 1) 2

所以a1 2,d ( 2 2)a1 22 2 20分

x22

2 y 1

14．解：(1)由 a 消去y得：x2 2a2x 2a2m a2 0 ①

y2 2(x m)

设f(x) x2 2a2x 2a2m a2，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根． 只需讨论以下三种情况：

a2 1

1°△＝0得：m ，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合；

2

2°f (a)f (－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；

3°f (－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合． f (a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a．

a2 1

综上可知，当0＜a＜1时，m 或－a＜m a；

2

当a 1时，－a＜m＜a． 10分

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