2000-2013年全国高中数学联合竞赛试卷(含答案)(7)

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故an=α(7+43)n+β(7－43)n+现a0=1，a1=4，a2=49．解得α=β=．

24

111111∴ an=3)n+(7－43)n+=(2+3)2n+(2－3)2n+44244211

=[3)n+(2－3)n]2． 2211

由于[(2+3)n+－3)n]是整数，故知an是整数的平方．即为完全平方数．

22

三．（本题满分50分）

有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n－2个人之间通电话的次数相等，都是3 k次，其中k是自然数，求n的所有可能值．

解：由条件知，统计各n－2人组的通话次数都是3k次，共有C

2n－2

n=Cn个

n－2人组，若某两人通话1

22n－4

次，而此二人共参加了C= C个n－2人组，即每次通话都被重复计算了C次．即总通话次数

n－2n－2n－2

n(n－1)

应为3k次．

(n－2)(n－3)

由于(n－1，n－2)=1，故n－2|n 3k．

若n－2|n，故n－2|2，易得n=4，(n=3舍去)此时k=0． 由n－2|3k，n=3m+2，(m为自然数，且m k)，此时

mm

n(n－1)6－k(3+2)(3+1)k

3 =3=[3m+4+3km，即3m－1|6．

(n－2)(n－3)3(3－1)3－1

∴ m=0，1．当m=0时，n=3(舍去)，当m=1时，n=5．

又：n=4时，每两个人通话次数一样，可为1次(任何两人都通话1次)；当n=5时，任何两人都通话1次．均满足要求． ∴ n=0，5．

二○○一年全国高中数学联合竞赛题

2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）

本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为

（A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定 2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点； 命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点； 命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点； 以上三个命题中正确的有

（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以 为周期、在（0，

）上单调递增的偶函数是 2

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