2000-2013年全国高中数学联合竞赛试卷(含答案)(18)

∴m 1 t 4t 1 ( 4) 4 ( 4)=9 15分

当t= -4时，对任意的x∈[1,9]，恒有 f(x 4) x=

121

(x 10x+9)=(x 1)(x 9) 0 44

∴m的最大值为9。 20分

另解：∵f(x-4)=f(2-x)

∴函数的图象关于x= -1对称 ∴

b

1 b=2a 2a

由③知当x= 1时,y=0，即a b+c=0 由①得 f(1) 1，由②得 f(1) 1

∴f(1)=1，即工+了+以=1，又a b+c=0

111 b= c= 42412111

∴f(x)=x x =(x+1)2 5分

42441

由f(x+t)=(x+t+1)2 x 在x∈[1,m]上恒成立

4

∴a=

∴4[f(x+t)-x]=x2+2(t-1)x+(t+1)2 0当x∈[1,m]时，恒成立 令 x=1有t2+4t 0 4 t 0

令x=m有t2+2(m+1)t+(m-1)2 0当t∈[-4,0]时，恒有解 10分 令t= 4得，m2 10m+9 0 1 m 9 15分 即当t= 4时，任取x∈[1,9]恒有

f(x-4)-x=

121

(x 10x+9)=(x 1)(x 9) 0 44

∴ mmin=9 20分

二○○二年全国高中数学联合竞赛加试试题

参考答案及评分标准

说明：

1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分；

2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，评卷时可参考本评分标准适当划

分档次评分，可以10分为一个档次，不要再增加其它中间档次。

一、（本题满分50分）

如图，在⊿ABC中，∠A=60°，AB>AC，点O是外心，两条高BE、CF交于H点，点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM=CN，求

MH NH

的值。

OH

A

解：在BE上取BK=CH，连接OB、OC、OK，

由三角形外心的性质知 ∠BOC=2∠A=120°

由三角形垂心的性质知 ∠BHC=180°-∠A=120° ∴∠BOC=∠BHC

∴B、C、HO四点共圆 20分 ∴∠OBH=∠OCH OB=OC BK=CH

∴⊿BOK≌⊿COH 30分 ∵BOK=∠BOC=120°，∠OKH=∠OHK=30° 观察⊿OKH

C

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