2000-2013年全国高中数学联合竞赛试卷(含答案)(11)

2001年全国高中数加试参考答案及评一．证明：(1)点共圆 BAC

又∠OBC＝

学联合竞赛 分标准 ∵A、C、D、F四 ∴∠BDF＝∠

1

(180°－∠BOC)＝90°－∠BAC 2

∴OB⊥DF．

(2)∵CF⊥MA

∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ① ∵BE⊥NA

∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ② ∵DA⊥BC

∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③ ∵OB⊥DF

∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④ ∵OC⊥DE

∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤ 30分 ①－②＋③＋④－⑤，得

NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2

∴OH⊥MN 50分

另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系， 设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，则 kAC ∴直线AC的方程为y

aa,kAB cb

ac

(x c)，直线BE的方程为y (x b) ca

c

y (x b) a2c bc2ac2 abc a, 由 得E点坐标为E(2) 222

aa ca c y (x c) c

a2b b2cab2 abc

, 同理可得F(2)

a b2a2 b2

acc

直线AC的垂直平分线方程为y (x )

2a2b c

直线BC的垂直平分线方程为x

2

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