2000-2013年全国高中数学联合竞赛试卷(含答案)(12)

acc y (x ) b cbc a2 2a2, 由 得O()

22ab c x

2

bc a2

bc a2ab2 abcab ac ,kDF 2 2 kOB 2b cac abab bca bc b

2

∵kOBkDF 1 ∴OB⊥DF 同理可证OC⊥DE．

在直线BE的方程y

bcc

) (x b)中令x＝0得H(0， aa

bc a2bc

a2 3bc ∴kOH

b cab ac2

ab ac

x 直线DF的方程为y 2

a bc

ab ac y x2 a2c bc2abc ac2 a bc

,2 由 得N (2) 22

a 2bc ca 2bc c y a(x c)

c

a2b b2cabc ab2

,2 同理可得M (2) 2

a 2bc ba 2bc b2a(b2 c2)(a2 bc)ab ac

∴kMN 222

(c b)(a bc)(a 3bc)a 3bc

∵kOH ·kMN ＝－1，∴OH⊥MN．

二．解：先求最小值，因为(

x)

2ii 1

i 1

nn

xi2

2

1 k j n

k

xkxj 1 j

x

i 1

n

i

1

等号成立当且仅当存在i使得xi＝1，xj＝0，j＝i ∴

x

i 1

n

i

最小值为1． 10分

再求最大值，令xk kyk ∴

ky

k 1

n

2k

2

1 k j n

ky

k

yj 1 ①

y1 y2 yn a1 nn

y2 yn a2

设M xk kyk， 令

k 1k 1

yn an

222

则① a1 a2 an 1 30分

令an 1＝0，则M

k 1

n

k(ak ak 1)

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