2000-2013年全国高中数学联合竞赛试卷(含答案)(5)

3k2·3218=，故填18． ak3n(n－1)n(n－1)

3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.

a+log3a+log3(a+log43)－(a+log83)log43－log8311

解：q==．填．

a+log23a+log43(a+log23)－(a+log43)log23－log4333

22xy

4．在椭圆+1 (a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率

ab

5－1是ABF=_________. 2

5－15+15+32

解：c=a，∴|AF|=a．|BF|=a，|AB|2=|AO|2+|OB|2=．

222

故有|AF|2=|AB|2+|BF|2．即∠ABF=90°．填90°． 5－12

或由b2=a2－c2=a=ac，得解．

2

5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.

3

解：取球心O与任一棱的距离即为所求．如图，AE=BE=， 2

663

AG=，AO=，BG=a，AB∶AO=BG∶OH． 343

AO·BG2432323

OH=．V=πr=πa．填πa．．

AB432424

6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)a b，b c，c d，d a；

(3)a是a，b，c，d中的最小值，

____

那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________

解：a、c可以相等，b、d也可以相等．

2－

解：an=3n2Cn．∴

⑴ 当a、c相等，b、d也相等时，有C4=6种； ⑵ 当a、c相等，b、d不相等时，有A3+A2=8种； ⑶ 当a、c不相等，b、d相等时，有C3C2+C2=8种；

⑷ 当a、c不相等，b、d也不相等时，有A3=6种；共28种．填28．

三、解答题(本题满分60分，每小题20分)

S1．设Sn=1+2+3+ +n，n N*，求f(n)=的最大值．

(n+32)Sn+1

1n(n+1)11

解：Sn=n(n+1)，f(n)= = (n=8时取得最大值)．

2(n+32)(n+1)(n+2)6450

n++34n

113

2．若函数f(x)=－2+在区间[a，b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a，b]．

22

113113

解：⑴ 若a b<0，则最大值为f(b)=－2+2b．最小值为f(a)=－a2+=2a．即a，b是方程x2+4x

2222

－13=0的两个根，而此方程两根异号．故不可能．

1313

⑵ 若a<0<b，当x=0时，f(x)取最大值，故2b=，得b=．

24

113

当x=a或x=b时f(x)取最小值，①f(a)=－2+=2a时．a=－2±17，但a<0，故取a=－2－17．由

2211339

于|a|>|b|，从而f(a)是最小值．②f(b)=－b2+=2a>0．与a<0矛盾．故舍．

2232

31

1

1

2

2

2

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