2000-2013年全国高中数学联合竞赛试卷(含答案)(15)

垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，则所得截面面积 ∵S1= (42 4|y|) ,

S2= (42 y2) [4 (2 |y|)2]= (42 4|y|) ∴ S1=S2

由祖暅原理知，两个几何体体积相等。故远C。 四、 填空题（本题满分54分，每小题9分）

7、 已知复数Z1,Z2满足|Z1|=2, |Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则解：由余弦定理得|Z1+Z2|=, |Z1 Z2|=7, 8、 将二项式(x

z1 z2

= 。

z1 z2

z1 z2=

z1 z27

12x

)n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数

11

n,n(n 1)， 28

P10

8

P9 是整数的项共有 个。 解：不难求出前三项的系数分别是1, ∵2

P1

11

n 1 n(n 1) 28

16 3r

1rr

∴当n=8时，Tr 1 Cn()x4 (r=0,1,2, ，8)

2

∴r=0,4,8,即有3个

9、 如图，点P1,P2, ,P10分别是四面体点或棱的中点，那么在同

一平面上的四点组(P1, Pi, Pj, Pk)(1<i<j<k 10)有 个。 解：首先，在每个侧面上除P1点外尚有五个点，其中任意三点组

33

添加点P1后组成的四点组都在同一个平面，这样三点组有C5个，三个侧面共有3C5个。

其次，含P1的每条棱上三点组添加底面与它异面的那条棱上的中点组成的四点组也在一个平面上，这样的四点组有3个

3

∴共有3C5＋3＝33个

10、 已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有

f(x+5) f(x)+5 f(x+1) f(x)+1

若g(x)=f(x)+1 x，则 。 解：由g(x)=f(x)+1 x得f(x)=g(x)+ x 1 ∴g(x+5)+(x+5) 1 g(x)+(x 1)+5 g(x+1)+(x+1) 1 g(x)+(x 1)+5 ∴g(x+5) g(x), g(x+1) g(x)

∴g(x) g(x+5) g(x+4) g(x+3) g(x+2) g(x+1) g(x) ∴g(x+1)=g(x) ∴T=1 ∵g(1)=1 ∴g(2002)=1

11、 若log4(x 2y) log4(x 2y) 1，则|x| |y|的最小值是。

x 2y 0

x 2|y| 0

2解： x 2y 0 2

(x 2y)(x 2y) 4 x 4y 4

由对称性只考虑y 0，因为x>0，所以只须求x y的最小值。 令x y=u代入x2 4y2=4中有3y2 2uy+(4 u2)=0 ∵y∈R

∴⊿ 0 u

3

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