2010年高三数学计算试题分类汇编——圆锥曲线(18)

故存在点PS使得 PAB与 PMN的面积相等，此时点P的坐标

为

5(, . 39

（2010四川理数）（20）（本小题满分12分）

已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N （Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.

本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理运算能力.

12

解：(1)设P(x,y)

2|x

2

1| 2

y2

化简得x－=1(y≠0)………………………………………………………………4分

3

(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)

y2

与双曲线x－=1联立消去y得

3

2

(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0 由题意知3－k2≠0且△＞0 设B(x1,y1),C(x2,y2)，

4k2x x 12k2 3则 2

xx 4k 312 k2 3

y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]

4k2 38k2 ＝k(2＋4) 2

k 3k 3

2

9k2

＝2

k 3

因为x1、x2≠－1 所以直线AB的方程为y＝

y1

(x＋1) x1 1

因此M点的坐标为(

3y11,) 22(x1 1)

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