学而思小学奥数36个精彩讲座总汇全(6)

那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f－1)+(9－a)+(9－b)+(9－c)+(9－d)+(9－e)+(9－f+1)=9×6=54．

所以原式的计算结果的数字和为54．

评注：M×999?9的数字和为9×k．(其中M的位数为x，且x?k)． ?????k个9

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7．试求9×99×9999×99999999×?×999?9×999?9×999?9乘积的数字和为多少? ???????????????256个9512个91024个9 【分析与解】 通过上题的计算，由上题评注：

设9×99×9999×99999999×?×999?9×999?9×999?9＝M， ???????????????256个9512个91024个9于是M×999?9类似?????1024个9的情况，于是，确定好M的位数即可；

注意到9×99×9999×99999999×?×999?9×999?9＝M， ??????????256个9512个9则M<10×100×100013×100000000×?×1000?0×1000?0＝1000?0 ???????????????256个0512个0k个0 其中k=1+2+4+8+16+?+512=1024－l=1023； 即M<1000?0，即M最多为1023位数，所以满足?????1023个0的使用条件，那么M与999?9乘积的?????1024个9数字和为1024×9=10240—1024=9216．

原式的乘积数字和为9216． 三、递推法的运用

有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法．

8．我们定义完全平方数A=A×A，即一个数乘以自身得到的数为完全平方数；已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?

【分析与解】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：

222

121＝11；12321＝111；1234321＝1111??

于是，我们归纳为1234?n?4321=（111?1）???n个12

2

2

所以，1234567654321：1111111；则，1234567654321×49=1111111×7=7777777．所以，题中原式乘积为7777777的平方．

评注：以上归纳的公式1234?n?4321＝（111?1），只有在n<10时成立． ???2

222

n个1

?4888?89=A，求A为多少? 9.①444??????????2

2004个42003个8 ②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？

【分析与解】 方法一：问题①直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：

?4888?89可以看成444?4888?89，其中n＝2004； ①注意到有444????????????????????2004个42003个82

n个4n-1个8 寻找规律：当n=1时，有49=7；

2

当n=2时，有4489=67；

2

当n=3时，有444889=667； ?? ??

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?4888?89=666?67 于是，类推有444???????????????2004个42003个822003个6 方法二：下面给出严格计算：

?4888?89=444?8+1； 444?4000?0+888?????????????????????????2004个42003个82004个42004个02004个8?8+1＝111?0+8）+1 则444?4000?0+888?1×（4×1000???????????????????????2004个42004个02004个82004个12004个0?1×［4×（999?9+1）+8］+1 ＝111????????2004个12004个9?1×［4×（999?9）+12］+1 ＝111????????2004个12

2004个9?1）×36+12×111?1+1 ＝（111??????2004个12

2

2004个1?1）×6+2×（6×111?1）+1 ＝（111??????2004个12004个12

??67）＝（666????2003个6?4888?89＝666?67 ②由①知444???????????????，于是数字和为(4n+8n一8+9)=12n+1=2005；

n个4n-1个82n-1个62?4888?89=666?4888?89. ?67于是，n=167，所以444?????????????????????????，所以存在，并且为444 167个4166个8166个6 167个4166个8

2008个6

10．计算666?6×9×333?3的乘积是多少? ??????????2008个3 【分析与解】采用递推的方法6×9×3=162；

66×9×33=19602； 666×9×333=1996002； ?? ??

于是，猜想666?6×9×333??96000?02 ?3=1999???????????????????n个6n个3n?1个9n-1个0 666?6×9×333??96000?02 ?3=1999???????????????????2008个62008个32007个92007个0评注：我们与题l对比，发现题1为666?6×9×3×333?3使用递推的方法就有障??????????2008个62004个3碍,999?9=10—l这种方法适用面要广泛一点． ?????k

k个9 练习1．设N=666?6×9×777?7，则N的各位数字之和为多少? ??????????2000个62007个7 练习2．乘积999?9×999?9的积是多少?各位数字之和又是多少? ??????????1999个91999个9练习3．试求111?1×111?1的各位数字之和是多少? ??????2008个12008个1

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第4讲 比例和百分数

成本、利润、价格等基本经济术语，以及它们之间的关系．各种已知数据或所求结果中包含比例与百分数的应用题，有时恰当选取较小的量作为一个单位，司以实现整数化计算．

1．迎春农机厂计划生产一批插秧机，现已完成计划的56％，如果再生产5040台，总产量就超过计划产量的16％．那么，原计划生产插秧机多少台?

【分析与解】 : 5040÷(1+16％-56％)=8400(台)．

2．圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每支多少元?

【分析与解】:设圆珠笔的价格为4，那么铅笔的价格为3，则20支圆珠笔和21支铅笔的价格为20×4+21×3=143，则单位“1”的价格为71.5÷143：0.5元． 所以圆珠笔的单价是O.5×4=2(元)．

3．李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内．已知东院养鸡40只；现在把西院养鸡总数的

1卖4给商店，卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的50％.原来东、西两院一共养鸡多少只?

【分析与解】：方法一：设原来东西两院一共养鸡x只，那么西院养鸡?x?40?只． 依题意：．?x?40???1?13??11?1???40?x,解出x?280. 43?2即原来东、西两院一共养鸡280只．

1111，东、西两院剩下的鸡等于东院的加上西院的，即20+西院原养鸡数． 2222115 有东院剩下40只鸡，西院剩下原1???的鸡．

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