学而思小学奥数36个精彩讲座总汇全(3)

6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少?

【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为： 3?(?1317?0.6?0.875)?1+0.75+1.8+2.625=6.175=6 440

7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”

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23155)?(?0.4)33384表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算： 1235(?0.3)?(?2.25)3104(0.625?【分析与解】原式

0.625?155384?5?155?27?25 1838412256?2.253

8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，?．如果那么方框内应填的数是多少? 【分析与解】

111???(16)(17)(17)，

?(16?17?181111(17)?1?. ?)???1=

15?16?175(16)(17)(17)(16)

111111?????中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1? 24681012111111111?，所以,,,的和为l，因此应去掉与. 【分析与解】 因为?612424612810 9．从和式

10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如1.892915929．那么在所有这种数中。最大的一个是多少?

【分析与解】 有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918??较大，于是最大的为

9.291892915．

??

11．请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个 分数的分母谁也不是谁的约数”.

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【分析与解】 有

114111111??，??，?? 6101510156351410 评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢? 注意到

11c?a11c?a1?????，当a?c?b时，有． a?bc?ba?b?ca?bc?ba?b?ca?c 当a、b、c两两互质时，显然满足题意．

显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2，不妨设a为2，那么有2?c?b，显然b、c为一对孪生质数． 即可得出一般公式：

111??，c与c+2均为质数即可.

2?(c?2）c?(c?2)2?c

12．计算：(1? 【分析与解】 原式=

111）?（1?）?...?(1?) 2?23?310?10(2?1)?(2?1)(3?1)?(3?1)(10?1)?(10?1)??...?

2?23?310?101?3?2?4?3?5?4?6?5?7?6?8?7?9?8?10?9?11=

2?2?3?3?4?4?...?10?101?2?3?3?4?4?5?5?...?9?9?10?11=

2?2?3?3?4?4?...?9?9?10?101?2?10?1111==. 2?2?10?1020

13．已知a=11?66?12?67?13?68?14?69?15?70?100.问a的整数部分是多少？

11?65?12?66?13?67?14?68?15?69 【分析与解】

11?66?12?67?13?68?14?69?15?70?100

11?65?12?66?13?67?14?68?15?6911?(65?1)?12?(66?1)?13?(67?1)?14?(68?1)?15?（69?1）?100 =

11?65?12?66?13?67?14?68?15?6911?12?13?14?15（1?）?100 =

11?65?12?66?13?67?14?68?15?6911?12?13?14?15?100. =100?11?65+12?66?13?67?14?68?15?6911?12?13?14?1511?12?13?14?15100?100＜?100?因为

11?65+12?66?13?67?14?68?15?69（11?12?13?14+15）?656510035?101. 所以a＜100+656511?12?13?14?1511?12?13?14?15100?100＞?100?同时

11?65?12?66?13?67?14?68?15?69（11?12?13?14+15）?696910031＝101. 所以a＞100?6969a= Page 5 of 134

综上有1013135＜a＜101．所以a的整数部分为101． 6965

1357991????...?与相比，哪个更大，为什么? 2468100101357992468100＝A，????...?＝B， 【分析与解】方法一：令????...?2468100357910113579924681001?????...?＝有A?B＝????...?.

2468100357910110114．问

而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是B＞A，

1111111）＝?，所以有A×A＜?，那么A＜． ＜101100101010101013579911即????...?与相比，更大． 2468100101013579799?方法二：设A＝????...?，

24689810011335599992?则A＝??????...?

2244661001001?3?3?5?5?7?7?...?97?97?99?99?1=， 2?2?4?4?6?6?8?...?96?98?98?100?1001?33?55?797?9999112

显然、、、?、、都是小于1的，所以有A＜，于是A＜.

2?24?46?698?9810010010（＝有A×A＜4×B

15．下面是两个1989位整数相乘：111...11...11??????111?????．问：乘积的各位数字之和是多少?

1989个11989个1【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变．因为111...11...11?????能被9整除，所以将一个111?????1989个11989个1乘以9，另一个除以9，使原算式变成：

999......99??????123456790......012345679???????????

1989个9共1988位数=（1000......00?123456790......012345679??????1）???????????

1989个0共1988位数=123456790......012345679000......00?????????????????123456790......012345679???????????

共1988位数1989个0共1988位数=123456790......012345679123456789876543209......987654320987654321 ????????????????????????共1988位数共1980位数 得到的结果中有1980÷9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”，所以各位数之和为： （1?2?3?4?5?6?7?9）?220?（9?8?7?6?5?4?3?2）?220 （1?2?3?4?5?6?7?8）?（9?8?7?6?5?4?3?2?1）?17901 +

评注：111111111÷9=12345679； M×999...9???的数字和为9×k．(其中M?999...9???)．可以利用上面性质较快的获得结果．

k个9k个9 Page 6 of 134

第2讲 计算综合（二）

本讲主要是补充[计算综合(I)]未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算． 1．n×(n+1)=[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]÷3； 2．从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：

112?22?32???n2??n??n?1???2n?1?

6 3．平方差公式：a-b=(a+b)(a-b)．

2

2

1． 已知a=

12?3?11????199,b?2?3?111????199?1,试比较a、b的大小.

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