学而思小学奥数36个精彩讲座总汇全(12)

2.9?10?b?c?d?e??4.7b?7.2c?10.6d?14.9e=60． 18b?43c?77d?120e=310，显然e只能取0，1，2． Ⅰ

有18b?43c?77d=310，其中d可取0，1，2，3，4．

(1)当d=0时，有18b?43c=310，将系数，常数对6取模得：

c≡4(mod 6)，于是c最小取4，那么有18b=310-43×4=138，b不为自然 数．所以d=0时。不满足； (2)

有18b?43c=233，将系数，常数对6取模得：

最小

,那么有18b=233-43×5=18,

c≡5(mod 6),于是

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； (3)

有18b?43c=156，将系数，常数对6取模得：

c≡O(mod 6)，于是c最小取0，那么有18b=156，b不为自然数，所以d=2

时，不满足； (4)

有18b?43c=79，将系数、常数对6取模得：

最小

那么有18b=79—43=36．

c≡1(mod 6)，于是

(5)当d=4时，有18b?43c=2，显然不满足． Ⅱ(1)

有18b?43c?77d=190，其中d可以取0、1、2．

有18b?43c=190，将系数、常数对6取模有：

最小

那么有18b=190-43×4=18

,

c≡4(mod 6)，于是

(2)当d=1时，有18b?43c=113，将系数、常数对6取模有：

c≡5(mod 6)，于是c最小取5，即18b+215=113，显然d=1时，不满足； (3)

时

有18b?43c=36,显然有Ⅲ

有18b?43c?77d=70，d只能取0，

有18b?43c=70，将系数、常数对6取模有：

c≡4(rood 6)，于是c最小取4，那么有18b+172=70，显然不满足 最后可得到如下表的满足情况：

共有4种不同的选购方法．

11．有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片．画片只有两种：3分一张和5分一张．每11人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买的3分画片的总数是多少张?

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有几种?

(2)比如，把7用3以下的自然数的和来表示的方法有如下八种：

3+3+1，3+2+2，3+2+1+1，2+2+2+l，3+1+1+1+1，2+2+l+1+1，2+1+1+1+1+1，1+l+1+1+1+1+1．请问：把50用3以下的自然数的和来表示的方法有几种?

【分析与解】 (1)我们注意到设x+y+z=50，求x、y、z有多少组可能的值,并且x、y、z代表的数字调换顺序只算一种．

为了方便计算，不妨设x?y?z．

当x=0时，y+z=50，y可以取0～25，z对应取值，于是有26组解； 当x=1时，y+z=49，y可以取1～24，z对应取值，于是有24组解； 当x=2时，y+z=48，y可以取2～24，z对应取值，于是有23组解； 当x=3时，y+z=47，y可以取3～23，z对应取值，于是有21组解；

当x=4时，y+z=46, y可以取4～23，z对应取值，于是有20组解； ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??

当x=15时，y+z=35，y可以取15～17，z对应取值，于是有3组解； 当x=16时，y+z=34，y可以取16～17，z对应取值，于是有2组解． 所以，共有26+24+23+21+20+?+3+2组可能的值；

我们知道有17个数的和，我们注意到这些数的规律，每个数是上一个数－2,－1，－2，－1，?， －2，－1； 所以，我们这样计算26+(24+23)+(21+20)+?+(3+2)=26+47??47???5=26+(47+5)×8÷2=26+52× ??????8项4=234

所以有234种不同的表示方法．

(2)我们注意一下，把6也分成三个以内的数的和，如： 6=1+1+4．

我们注意到从左往右看可以得到下面的数：1+1+4=6，

而从上往下看得到右边的数3+1+1+1=6，每个数都是3或3以下.

并且不光是6满足，其他的也满足，当把它从左到右排列成三个数以内的和，则从上到下一定是3以内的数的和.

也就说是一一对应的，于是(1)的种数就是(2)所对应的种数．即234种.

8．洗衣服要打好肥皂，揉搓得很充分，再拧一下，当然不可能全拧干．假设使劲拧紧后，衣服上还留有1千克带污物的水．现在有清水18千克，假设每次用来漂洗的水都是整数千克，试问留下的污物最少是洗涤前的几分之几?

【分析与解】 我们假设分成n次分别为x，y，z，??，

则每次漂洗的时候，总是加上上次剩下的l千克污水，则每次实际水量分别为： x+1，y+l，z+1，?， 则最后剩下了

1111?????,，要使最后残留的最少，只要分母最大即可． x?1y?1z?1??1 注意到当18全部分成2的时候，2+1即是3，也就是满足我们【内容概述】第3条了，此时分了

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1?1?18÷2=9次，于是为???.

?3?19683 但是我们还应注意到，当分的次数越多，分母的和越大．如：当分成10次时，经过的水量变成

8291?1??1?18+10=28，则此时可以是8个3千克，2个2千克，此时为??????．

3226244???? 于是考虑最极端的情况，我们把清水分成18次，此时经过的水量变成18+18=36，为18个2千克，

181?1?此时对应???．因为每次必须是整数千克的水，所以不能再分．

262144?2? 于是，当分成18次，每次1千克，此时剩下的污物残留量最少，为洗涤前的

1.

262144第10讲 数论综合（一）

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．

1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?

【分析与解】 我们知道如果有5个连

续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。 所以n小于5．

:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，

那么它们乘积的个位数字为0；

如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4；

所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能．

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