1100,
【分析与解】
a?2?3?111????198?1A,b?2?3?11????198?1B其中A=99,B=99+
111.因为A
97?1198?A?97?1198?B,96?97?11198?A1?96?97?1198?1B,
?
2?3?4?????111198?1A?2?3?4?????11198?
2.试求
,所以有a < b．
1B12?3?4?????11112005?1?1?3?11114?????112005的和？
【分析与解】 记x?13?4?????1112005,则题目所要求的等式可写为：
111111?x?,而????1.
112?x1?2?x1?2?x2?x1?x1?x所以原式的和为1．
评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想．
2． 试求1+2+3+4+?4+100的值?
【分析与解】 方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)×项数÷2=(1+100)×100÷2=5050．
方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+? 97+ 98+ 99+ 100 100+ 99+ 98+ 97+ 96+?4+ 3+ 2+ 1,
上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101×100，那么原式的和为 10l×100 ÷2=5050．
方法三：整数裂项(重点)，
原式=(1×2+2×2+3×2+4×2+?+100×2)÷2
=?1?2?2?(3?1)?3?(4?2)?4?(5?3)?????100?(101?99)??2
???100?101?99?100)?2 =(1?2?2?3?1?2?3?4?2?3?4?5?3?4??=100?101?2 =5050.
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3． 试求l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+?+99×100． 【分析与解】方法一：整数裂项
原式=(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+?+99×100×3)÷3
=[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+?+99×100×(101-98)]÷3
(1?2?3?2?3?4?1?2?3?3?4?5?2?3?4?4?5?6?3?4?5?5?6?7?4?5?6?????99?100?101?98?99?100)?3?99?100?101?3?33?101?100?3333?100?333300.方程二：利用平方差公式1+2+3+4+?+n=n?2
2
2
2
2
2n?(n?1)?(2n?1).
6 原式：1+l+2+2+3+3+4+4+5+5+?+99+99
222222
=1+2+3+4+5+?+99+1+2+3+4+5+?+99 =
222222
99?100?19999?100?
62 =328350+4950
=333300．
5．计算下列式子的值：
0.1×0.3+0.2?0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+?+9.7×9.9+9.8?10.0
【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算．即先计算1×3+2?4+3×5+4?6+?+97?99+98×100。再除以100．
方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项的方法． 0.1×0.3+0.2?0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+?+9.7×9.9+9.8?10.0 =(1×3+2×4+3×5+4×6+?+97×99+98×100)÷100
=[(l×2+1)+(2×3+2)+(3×4+3)+(4×5+4)+?+(97×98+97)+(98×99+98)]÷100 =[(1×2+2×3+3×4+4×5+?+97×98+98×99)+(1+2+3+4+?+97+98)]÷100 =(
11×98×99×100+×98×99)÷100 32=3234+48.51 =3282.51
方法二：可以使用平方差公式进行计算．
0.1×0.3+O.2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+?+9.7×9.9+9.8×10.0 =(1×3+2×4+3×5+4×6+?+97×99+98×l00)÷100
222222
=(1-1+2-1+3-1+4-1+5-1+?+99-1)÷100
122222
=(1+2+3+4+5+?+99-99)÷100 =(
1×99×100×199-99)÷100 6=16.5×199-0.99
=16.5×200-16.5-0.99 =3282.51
评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的．下面简单介绍
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一下整数裂项．
1×2+2×3+3×4+?+(n-1)×n
1×[1×2×3+2×3×3+3×4×3+?+(n-1)×n×3] 31=×{1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+?+(n-1)×n[n+1-(n-2)]} 3==?????1?1?2?3?2?3?1?2?3?4?3?4?2?3?4?5???
3??(n?1)?n?(n?2)?(n?1)?n?(n?1)?13=?(n?1)?n?(n?1)
6.计算下列式子的值：
111111??????)?(2?2????) 2?34?520?2111?2212?22?????102111111??,????????可是再仔细一看，并没有什么效果，【分析与解】 虽然很容易看出
2?3234?54524?(因为这不像分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式1+2+3+?+n=
2
2
2
2
116?. ×n×(n+1)×(2n+1)，于是我们又有261?22?32?????n2n?(n?1)(2n?1)减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢?
111111?????)?(2?2?????) 2?34?520?2111?2212?22?????102111111?????)?6?(??????) =24?(2?34?520?211?2?32?3?510?11?12111111?????)?24?(??????) =24?(2?34?520?212?4?34?6?520?22?2124?(=24??(=24?(11111?1??)?(?)?????(?)?
4?54?6?520?2120?22?21??2?32?4?3111?????) 2?44?620?22111?????) =6?(1?22?310?111=6?(1?)
1160= 11
7．计算下列式子的值：
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(1?11111111111111????????)2?(????????)2?(???????)223451980122345198012345198012
111111111111?(??????)2?(??????)2?????()2?(1?????????)45198012561980121980122345198012【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律. 2
显然1+1=2;
111(1?)2?()2?(1?)?4;2221111111 (1??)2?(?)2?()2?(1??)?6;2323323111111111111(1???)2?(??)2?(?)2?()2?(1???)?8;234234344234所以原式=198012×2=396024． 习题
计算17×18+18×19+19×20+?+29×30的值．
提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式. 答案：(29×30×31-16×17×18)÷3=29×10×31-16×17×6=7358.
第3讲 多位数的运算
多位数的运算，涉及利用999?9＝10k-1，提出公因数，递推等方法求解问题． ?????k个9
一、999?9＝10-1的运用 ?????k
k个9 在多位数运算中，我们往往运用999?9＝10-1来转化问题； ?????k
k个9 如：333?3×59049 ?????2004个3 我们把333?9÷3， ?3转化为999??????????2004个32004个9 Page 11 of 134
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