学而思小学奥数36个精彩讲座总汇全(13)

：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个

位数字为0，??，不满足．

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：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不

满足．

至于n取1显然不满足了．

所以满足条件的n是4．

2．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么， (1)a+b的最小可能值是多少? (2)a+b的最大可能值是多少?

【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l， 67，71，73，79，83，89，97．

可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168． 所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168．

3．如果某整数同时具备如下3条性质： ①这个数与1的差是质数；

②这个数除以2所得的商也是质数； ③这个数除以9所得的余数是5．

那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．

【分析与解】 条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件． 其中86与50不符合①，32与68不符合②，三个条件都符合的只有14．

所以两位幸运数只有14．

4．在555555的约数中，最大的三位数是多少? 【分析与解】555555=5×111×1001

=3×5×7×11×13×37 显然其最大的三位数约数为777．

5．从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?

【分析与解】 从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商．而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002÷847=2??308，847÷308=2??231，308÷231=1??77．231÷77=3．

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不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫米．

6．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答案．

【分析与解】 设这三个数为a、b、c，且a＜b＜c，因为两两不互质，所以它们均是合数．

小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．其中只含1种因数的合数不满足，所以只剩下6，10，12，14，15，18这6个数，但是14=2×7，其中质因数7只有14含有，无法找到两个不与14互质的数．

所以只剩下6，10，12，15，18这5个数存在可能的排列．

所以，所有可能的答案为(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18)．

7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1．那么最少要分成多少组?

【分析与解】26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=3×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13． 由于质因数13出现在26、91、143三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下3组：

将26、33、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组． 所以，至少要分成3组．

2

8．图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?

【分析与解】 圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远．如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远．

小圆周长为?×30=307r，大圆周长为48?，一半便是24?，30与24的最小公倍数时120． 120÷30=4．120÷24=5．

所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个两只甲虫相距最远．

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1圆周长，即爬到了过A的直径另一点B．这时2

9．设a与b是两个不相等的非零自然数．

(1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值? (2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?

【分析与解】 (1)a与b的最小公倍数72=2×2×2×3×3，有12个约数：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72．不妨设a＞b．

:当a=72时，b可取小于72的11种约数，a+b?72+1=73；

:当a=36时，b必须取8或24，a+b的值为44或60，均不同第一种情况中的值； ：当a=24时，b必须取9或18，a+b的值为33或42，均不同第一、二种情况中的值； 当a=18时，b必须取8，a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值； ：当a=12时，b无解；

:当a=9时，b必须取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情况中的值．

总之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值．

(2)60=2×2×3×5，有12个约数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60．a、b为60的约数，不妨设a＞b．

：当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是a－b可取11种不同

的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30；

．当a=30时，b可取4，12，20，于是a－b可取26，18，10； ：当a=20时，b可取3，6，12，15，所以a－b可取17，14，8，5；

当a=15时，b可取4，12，所以a－b可取11，3； : 当a=12时，b可取5，10，所以a－b可取7，2．

总之，a－b可以有11+3+4+2+2=22种不同的值．

10．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4次．比赛途中，从起点开始每隔12少米?

【分析与解】 由于1213米，黄鼠狼每次跳2米，它们每秒钟都只跳一243米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多83111339÷4=，12÷2=． 824842 Page 50 of 134

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