第十一周 假设法解题（二）
专题简析：
已知甲是乙的几分之几，又知甲与乙各改变一定的数量后两者之间新的倍数关系，要求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称为变倍问题。
应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然其中的数量关系比较复杂，但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1”，然后通过假设，找出变化前后的相差数相当于单位“1”的几分之几，从而求出单位“1”的量，其他要求的量就迎刃而解了。
例题1 两根铁丝，第一根长度是第二根的3倍，两根各用去6米，第一根剩下的长度是第二根剩下的长度的5倍，第二根原来有多少米？
【思路导航】假设第一根用去6×3＝18米，那么第一根剩下的长度仍是第二根
剩下长度的3倍，而事实上第一根比假设的少用去（6×3－6）＝12米，也就多剩下第二根剩下的长度的（5－3）＝2倍。
（6×3－3）÷（5－3）+6＝12（米） 答：第二根原来有12米。 练习1
1. 丁晓原有书的本数是王阳的5倍，若两人同时各借出5本给其他同学，则丁
晓书的本数是王阳的10倍，两人原来各有书多少本？
2. 在植树劳动中，光明中学植树的棵数是光明小学的3倍，如果中学增加450
棵，小学增加400棵，则中学是小学的2倍。求中、小学原来各植树多少棵？ 3. 两堆煤，第一堆是第二堆的2倍，第一堆用去8吨，第二堆用去11吨，第一
堆剩下的重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原来是多少吨？
例题2 王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的3倍多6.40元，若两个人各买了一本4.40元的故事书后，王明的钱就是陈刚的8倍，陈刚原来有零花钱多少元？ 【思路导航】假设仍然保持王明的钱比陈刚的3倍多6.40元，则王明要相应地
花去4.40×3 ＝13.20元，但王明只花去了4.40元，比13.20元少13.20－4.40＝8.80元，那么王明买书后的钱比陈刚买书后的钱的3倍多6.40+8.80＝15.20元，而题中已告诉：买书后王明的钱是陈刚的8倍，所以，15.20元就对应着陈刚花钱后剩下钱的8－3＝5倍。
【6.40+（4.40×3－4.40】÷（8－3）+4.40＝7.44（元）
答：陈刚原来有零花钱7.44元。 练习2
1． 甲书架上的书比乙书架上的3倍多50本，若甲、乙两个书架上各增加150
本，则甲书架上的书是乙书架上的2倍，甲、乙两个书架原来各有多少本书？
2． 上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的2倍多54人，本学年马村中
学增加了20人，牛庄小学减少了8人，则马村中学的学生比牛庄小学的学生的4倍少26人，上学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人？
3． 箱子里有红、白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2粒，每次从箱子里取
出7粒白球和15粒红球，若干次后，箱子里剩下3粒白球和53粒红球，那么，箱子里白球原有多少粒？
1
例题3 小红的彩笔枝数是小刚的 ，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小刚
2
2
的 ，两人原来各有彩笔多少枝？ 3
1
【思路导航】假设小刚买了5枝后，小红的彩笔仍为小刚的2 ，则小红只需买（5
1111×2 ）＝22 枝，但实际上小红买了5枝，多买了5－22 ＝22 枝。
12
将小刚买了5枝后的枝数看作“1”，小红多买了22 ，相当于（3 11－2 ）＝6 。
121
小刚原来：（5－5×2 ）÷（3 －2 ）－5＝10（枝）
1
小红原来：10×2 ＝5（枝）
答：小刚原来有彩笔10枝，小红原来有彩笔5枝。 练习3
11
1． 小华今年的年龄是爸爸年龄的6 ，四年后小华的年龄是爸爸的4 ，求小华
和爸爸今年的年龄各是多少岁？
31
2． 小红今年的年龄是妈妈的8 ，10年后小红的年龄是妈妈的2 ，小红今年多
少岁？
5
3． 甲书架上的书是乙书架上的7 ，甲、乙两个书架上各增加90本后，甲书架
4
上的书是乙书架上的5 ，甲、乙两各书架原来各有多少本书？
4
例题4 王芳原有的图书本数是李卫的 ，两人各捐给“希望工程”10本后，
5
7
则王芳的图书的本数是李卫的 ，两人原来各有图书多少本？
10
4
【思路导航】假设李卫捐了10本后，王芳的图书仍是李卫的5 ，则王芳只需捐
4
10× ＝8本，实际王芳捐了10本，多捐了10－8＝2本，将李卫
5
471
捐书后剩下的图书看作“1”，着2本书相当于5 －10 ＝10 。
447
（10－10×5 ）÷(5 －10 )=30(本)
4
30×5 ＝24（本）
答：李卫原有图书30本，王芳原有图书24本。 练习4
4
1． 甲书架上的书是乙书架上的5 ，从这两个书架上各借出112本后，甲书架
4
上的书是乙书架上的7 ，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？
64
2． 小明今年的年龄是爸爸的11 ，10年前小明的年龄是爸爸的9 ，小明和爸爸
今年各多少岁？
1
3． 甲车间的工人是乙车间的4 ，从甲、乙两个车间各抽出30人后，甲车间的
1
工人只占乙车间的6 ，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？
2
例题5 某校六年级男生人数是女生的 ，后来转进2名男生，转走3名女生，
3
3
这时男生人数是女生的 ，现在男、女生各有多少人？
4
2
【思路导航】假设转走3名女生后，男生人数仍是女生的3 ，则男生应转走3×
2
实际上男生却转进2人，与应转走2人相差2+2＝4人。
3 ＝2人，
将转走3名女生后的女生人数看作“1”，则相差的4人相当于现在
32
女生的4 －3 。
232
（2+3×3 ）÷（4 －3 ）＝48（人）
3
48×4 ＝36（人）
答：现在男生有36人，女生有48人。 练习5
2
1． 甲车间的工人是乙车间的5 ，后来甲车间增加20人，乙车间减少35人，
7
这样甲车间的人数是乙车间的9 ，现在甲、乙两个车间各有多少人？
2
2． 有一堆棋子，黑子是白子的3 ，现在取走12粒黑子，添上18粒白子后，
5
黑子是白子的 ，现在白子、黑子各有多少粒？
12
3． 爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学竞赛，去年的比赛中，爱华小学
得一等奖的人数是曙光小学的2.5倍。今年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数减少了1人，曙光小学增加了6人，这时曙光小学得一等奖的人数是爱华小学的2倍。两校去年的一等奖的同学各有多少人？
答案：
练1 1、 王阳：（5×5－5）÷（10－5）+5＝9本
丁晓： 9× 5＝45本
2、 小学：（400×3－450）÷（3－2）－400＝350棵 中学：350×3＝1050棵 3、 第二堆：（11×2－8）÷（4－2）+11＝18吨 第一堆：18×2＝36吨 练2 1、乙：（150×3－150－50）÷（3－2）－150＝100本 甲：100×3+50＝350本 2、 牛庄小学：（54+20+8×2+26）÷（4－2）+8＝66人 马村中学：66×2+54＝186人 3、 【53－（3×3+2）】÷（7×3－15）＝7次 原有的白球：7×7+3＝52个
111
练3 1、爸爸：（4－4×6 ）÷（4 －6 ）－4＝36岁
1
小华：36×6 ＝6岁
313
2、妈妈：（10－10×8 ）÷（2 －8 ）－10＝40岁
3
小红：40×8 ＝15岁
545
3、乙：（90－90×7 ）÷（5 －7 ）－90＝210本
5
甲：210×7 ＝150本
444
练4 1、乙：（112－112×7 ）÷（5 －7 ）＝210本
4
甲：210×5 ＝168本
464
2、爸爸：（10－10×9 ）÷（11 －9 ）＝55岁
6
小明：55×11 ＝30岁
111
3、乙：（30－30×6 ）÷（4 －6 ）＝300人
1
甲：300×4 ＝75人
272
练5 1、乙：（20+35× ）÷（ － ）＝90人
5957
甲：90×9 ＝70人
225
2、白：（12+18×3 ）÷（3 －12 ）＝96粒
5
黑：96×12 ＝40粒
1
3、曙光：（1+6×2.5）÷（2.5－2 ）－6＝2人
爱华：2×2.5＝5人
第十二周 倒推法解题
专题简析：
有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。
13
例题1 一本文艺书，小明第一天看了全书的 ，第二天看了余下的 ，还剩下
35
48页，这本书共有多少页？
32
【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余下的1－ ＝ 。第一
55
212
天看后还剩下48÷5 ＝120页，这120页占全书的1－3 ＝3 ，这
2
本书共有120÷3 ＝180页。即
31
48÷（1－5 ）÷（1－3 ）＝180（页） 答：这本书共有180页。 练习1
35
4． 某班少先队员参加劳动，其中7 的人打扫礼堂，剩下队员中的8 打扫操场，
还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？
32
5． 一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的8 ，第二天走了余下的3 ，第三
天走了250千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米？
12
6． 把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的6 ，乙拿走了余下的5 ，丙拿走
3
这时所剩的4 ，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？
12
例题2 筑路队修一段路，第一天修了全长的 又100米，第二天修了余下的 ，
57
还剩500米，这段公路全长多少米？
25
【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1－ ＝ ，第一
77
51
天修后还剩500÷7 ＝700米，如果第一天正好修全长的5 ，还余
14
下700+100＝800米，这800米占全长的1－5 ＝5 ，这段路全长
4
800÷5 ＝1000米。列式为：
21
【500÷（1－7 ）+100】÷（1－5 ）＝1000米
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