安徽大学2013—2014学年第二学期《应用随机过程》A卷及其参考答(11)

令f x xn，f/ x nxn 1，f// x n n 1 xn 2，由Ito-Doeblin公式，

211nn 1n 2n 1n 2

d Wt nWtdWt nn 1WtdWt nWtdWt nn 1W t dt 22

，积分后有Wn t 0nWn 1 u dW u 1n n 1 0Wn 2 u du；两边取

t

t

2

1 1nn 2n 2

期望后有E Wt Enn 1Wudu nn 1EW 0 0 u du

t

t

2

2

（Ito积分是鞅，期望为零）； tt

42 E W t 6 E W u du 6 udu 3t2， 00

6423

。 E Wt 15EWudu 153udu 15t 0 0

t

t

(2)由 Ito—Doeblin公式：设f C2，则有：

/

df W t f W t d W t

1//

f W t d W t 2

2

1//

f/ WtdWt 2f W t dt或

/

f W t f W 0 0

t

1t//f W u d W u 2 0f W u du。这里，

f x eux，f/ x ueux，f// x u2eux，由Ito—Doeblin公式， 12uW t uW t ueuW t d d eWt dt，也即： 2ue

t12tuW u

euW t 1 u euW u d Wu du，两边同时取期望，即有： 2u 0e0

tuW t 1 1u2 m u du（Ito积分是鞅，期望为零）m t E e，积分 02

方程两边关于t求导，即有微分方程：

dm t 12ut

um t uW t e2。 e，解得：m t E 2 dt

m 0 1

2

四、 应用分析题

设有欧式未定权益V t,S t ，由风险中性定价公式，

r T t V t,S t E eV T,S T Ft （这里， Ft,0 t T 为标准

Brown

运动生成的域流，即：Ft W s ,0 s t ，E 概率测度P下的条件数学期望）；从而，

C t,S t Ee

Ft 为风险中性

r T t

S T K Ft

r T t

，Pt,St Ee K S T

Ft

；

C t,S t P t,S t Ee

r T t

S T K K S T

F E e

t

r T t

S T K Ft

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