偏微分方程反问题的数值解法教案(6)

偏微分方程反问题的数值解法教案

A.M.Cormack共同获得诺贝尔医学奖

G.N.Hounsfield寄语：如果你考试没有通过，不用太担心，只要你感到你的确理解了所学的课程；将自己常用的推理方法充分使用后，通过对身边发生的事物基本要素的掌握，你就会对你所能达到的理解能力和所掌握的知识感到吃惊。

基本原理：不损伤物体本身结构的情况下，发射各种可通过物体的讯号（各种射线，波，粒子，电磁场等），然后通过对从体外接收到的信号。利用数学方法和计算机进行加工和处理，获得物体内部结构的信息，形成物体内部结构的三维透视图像，也称为图像重建或图像恢复。

考虑二维情况，通过人体的某一平面用ρ(x,y)表示点(x,y)的密度，而用L表示该平面内的任意直线，假定发射一束X光沿直线L穿过人体，并测量X光闯过人体后的强度变化。用参数(s,δ)来刻画直线L，其中s∈R,δ∈[0,π]。射线Ls,δ可表示为se+iue∈C,u∈R，

iδ

iδ

这里C代表复平面R。强度I的减弱可近似地表示为：dI= γρIdu，其中γ为常数，沿直线L积分：

2

lnI(u)= γ∫

ρ(seiδ+iueiδ)du

u0

u

若假定密度ρ(x,y)具有紧支性，则强度损失由下式给出：

lnI(∞)= γ∫

一般来说，强度的减弱可以通过计算线积分

+∞

∞

ρ(seiδ+iueiδ)du

(Rρ)(s,δ):= γ∫

+∞

∞

ρ(seiδ+iueiδ)du,s∈R,δ∈[0,π]

上式中的Rρ称为ρ的Radon变换。

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